Fonctions De Hilbert Et Géométrie Hilbert Functions and Geometry

This note is devoted to the study of the links between the Hilbert function of a subscheme X of the projective space IPn and its geometric properties. We will assume X to be arithmetically Cohen-Macaulay (ACM). This allows us to characterize the Hilbert function φX of X by an increasing sequence of d integers (m0, . . . ,md−1), called the (absolute) characteristic sequence of X, d being the degree of X. If Y is an ACM hypersurface of X, we characterize the Hilbert function of X by a increasing sequence of d integers, called the relative characteristic sequence of Y in X. We study properties of these sequences, and study in this context, on a Gorenstein curve X, linear systems with maximal dimension with respect to their degree. Cette note est consacrée à l’étude des relations entre la fonction de Hilbert φX d’un sous-schéma projectif X ⊂ IPn (i.e. de son cône associé) et ses propriétés géométriques. Lorsque X est un groupe de points du plan, l’étude est largement avancée, notamment grâce à l’introduction du caractère numérique de GrusonPeskine ([6]). On a montré en particulier dans [2] comment on pouvait retrouver la description géométrique des systèmes linéaires de dimension maximale sur une courbe plane X , donnée par Ciliberto dans [4] lorsque X est lisse, grâce à ce caractère numérique. Pour n ≥ 3, le problème était posé depuis longtemps de trouver une généralisation adéquate du caractère numérique pour les groupes de points dans IPn, en particulier pour l’étude des groupes de points et des systèmes linéaires sur les courbes algébriques de IPn. On propose ici une telle généralisation, en introduisant le concept de suite caractéristique relative d’un groupe de points sur une courbe algébrique arithmétiquement Cohen-Macaulay (ACM). La motivation originelle était de généraliser cette description géométrique des systèmes linéaires de dimension maximale obtenue pour les courbes planes, aux courbes de Gorenstein. On pense ici en particulier aux théorèmes obtenus pour les intersections complètes par C. Ciliberto et R. Lazarsfeld dans [3] et par B. Basili dans [1]. L’objectif n’est pas encore atteint, mais on a les résultats suivants. Etant donné un sous-schéma projectif ACM X ⊂ IPn non-dégénéré de dimension m et de degré d, l’anneau gradué projetant AX := An/IX de X s’écrit AX = ∑d−1 i=0 Am[−mi] (Am = k[X0, . . . , Xm]), lesmi étant une suite croissante de d entiers caractérisant la fonction de Hilbert de X , appelée sa suite caractéristique. On pose aussi: li := card{j/mj = i}. On a : 1. l0 = 1, l1 = p := n−m. Si li = 1, alors li+1 ≥ p. De plus, li vérifie la condition de croissance de Macaulay (cf. [5]); en particulier si li = 0, li+1 = 0. 2. Si X est contenu dans X , la suite caractéristique de X est contenue dans celle de X . 1991 Mathematics Subject Classification. 14C20, 13A02.